Предлагаемая вниманию читателей монография посвящена развитию математики в Китае. Она написана на основе изучения подлинников и состоит из пяти частей, каждая из которых независима от других. В работе рассматриваются наиболее характерные проблемы математики древнего Китая: техника вычислений на счетной доске и выработка позиционной арифметики; развитие понятия числа и создание аппарата дробей как пар; алгебраические вопросы решения систем уравнений табличным методом и уравнений высших степеней численным методом с изобретением отрицательных чисел впервые в истории математики, а также некоторые вопросы геометрии и приложения алгебраических методов к геометрическим задачам.

Книга будет полезна математикам и историкам математики, синологам, студентам соответствующих специальностей, а также всем интересующимся историей науки.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

Часть первая. ИСТОЧНИКИ

Глава первая. ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор литературы

2. Развитие математики в Китае (краткий очерк)

Глава вторая. ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ "ДЕСЯТИКНИЖЬЕ"

3. Классическая "Математика в девяти книгах"

4. Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии

5. Метрологический трактат Сунь-цзы

6. Математический трактат Чжан Цю-цзяня

7. Практическое руководство для чиновников пяти ведомств

8. Арифметическое пособие Сяхоу Яна

9. Два трактата Чжэнь Луаня

10. Трактат Ван Сяо-туна об уравнениях третьей степени

11. Трактат о гномоне

Часть вторая. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Глава первая. СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

1. Как считают китайцы?

2. О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления

3. Чей же нуль?

4. Узелки и зарубки

5. Становление китайской системы счета

6. Большие числа

Глава вторая. АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

7. Счетная доска

8. Позиционный принцип

9. Арифметические операции

10. Таблицы

11. Счеты

Глава третья. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

12. Роль китайских десятичных дробей в истории науки

13. Метрологические дроби

14. Переход к абстрактной дроби

15. Основное свойство. Операции

16. Древнекитайское понятие десятичной дроби

17. Метрология и происхождение десятичных дробей

18. Метрологические таблицы Сунь-цзы

19. Роль счетной доски в преобразовании метрологии

Часть третья. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Глава первая. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

1. Дроби в "Десятикнижье"

2. Натуральные дроби

3. Дробь как мера или именованное число

4. Приведение дробей к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное

5. Общий наибольший делитель. Алгоритм Евклида. Основное свойство дроби

6. Деление дробей. Задачи на распределение

7. Дробь как пара чисел

Глава вторая. ПРОПОРЦИИ И ПРОГРЕССИИ

8. Пропорциональное деление

9. Пропорции. Коэффициент пропорциональности. Подобие

10. Тройное правило. Проценты

11. Прогрессии в "Десятикнижье" и у Цинь Цзю-шао

Глава третья. ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ

12. Еще раз о делении

13. Деление с остатком

14. Системы сравнений первой степени. Задачи Сунь-цзы и Цинь Цзю-шао

Часть четвертая. АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Глава первая. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

1. Тождественные преобразования

2. Китайская "символика"

3. Классы задач и алгоритмы

4. Линейные системы. Метод Гаусса

5. Китайская матрица

6. Решение системы

7. Усовершенствование метода

8. Неопределенная система

9. Отрицательные числа. Приведение уравнений к каноническому виду

10. Второй матричный метод. Правило двух ложных положений

11. О происхождении матричного метода. Частные приемы

12. Линейные системы в книге Цинь Цзю-шао

Глава вторая. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ

13. Извлечение квадратных и кубических корней в трактатах математического "Десятикнижья"

14. Квадратные уравнения в "Десятикнижье"

15. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, в сочинении Цинь Цзю-шао "Девять книг по математике"

16. Ван Сяо-тун. Кубические уравнения

17. Численный метод решения уравнений у Цинь Цзю-шао, Ли Е и Чжу Ши-цзе

Часть пятая. ГЕОМЕТРИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Глава первая. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

1. "Измерение полей". Древняя классификация фигур

2. Вычислительные задачи. Приближения

3. Объемы

4. Площади

5. Древние понятия площади и объема

Глава вторая. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

6. Древняя формулировка теоремы. Доказательство Чжао Цзюнь-цина

7. "Метод гоу-гу"

8. Тройки пифагоровых чисел

Глава третья. ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА И ШАРА

9. Древние значения числа pi. Эталон мер Ван Мана

10. Метод Лю Хуэя и его понятие предела

11. Цзу Чун-чжи

Глава четвертая. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО НЕДОСТУПНЫХ ПРЕДМЕТОВ

12. Три классические задачи древней "Математики в девяти книгах"

13. "Метод чжун-ча" у Лю Хуэя. Подобие треугольников

14. Задачи на измерение расстояний в других трактатах "Десятикнижья"

15. "Измерения и наблюдения" у Цинь Цзю-шао

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Приложение. СПИСОК ДРЕВНЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ

Указатель имен

Предисловие

Математика в Китае развивалась с глубокой древности более или менее самостоятельно и достигла своего наибольшего развития к XIV в. н. э. Далее в Китай проникает западная математика, принесенная в основном европейскими миссионерами, и это уже другая эпоха в истории науки Китая. Древняя традиция в математике была таким образом прервана и утеряна. Многие открытия, сделанные раньше, чем в Европе, были забыты, и их вновь повторили западные ученые. Китайские математики, обрабатывая древние и средневековые тексты, сами обнаруживали неожиданно для себя удивительные результаты, полученные их предками.

В этой книге основное внимание уделено математике древнего Китая в период со II в. до н. э. по VII в. н. э. Менее подробно рассмотрены труды китайских математиков XIII--XIV вв. Это связано с тем, что материал изложен непосредственно по сохранившимся источникам, главным образом математическому "Десятикнижью", которое автор данной книги переводил и исследовал в течение ряда лет. История математики древнего Китая представлена здесь в виде отдельных глав, каждая из которых является, по существу, независимым друг от друга очерком о наиболее характерной проблеме математики как древнего Китая, так и других древних цивилизаций: Египта, Вавилона, Греции и Индии. Проблемы эти "начальные", свойственные развитию математики с самых древних времен, они касаются развития понятия числа, фигуры и ее площади, тела и его объема, формирования простейших теоретико-числовых понятий среднего арифметического, общего наибольшего делителя, наименьшего общего кратного, истории теоремы Пифагора и т.д. Мысль написать такую книгу принадлежала учителю автора в области китайского языка, советскому китаеведу Чжоу Сун-юаню, памяти которого автор считает своим долгом посвятить этот труд. Автор глубоко благодарен своему учителю в области истории математики И.Г.Башмаковой, под влиянием идей которой он постоянно находится. Искреннюю признательность автор приносит А.Н.Колмогорову и А.П.Юшкевичу, побудившим автора заняться в свое время столь увлекательным исследованием. Автор всегда ценил чуткую внимательность С.А.Яновской, проявленную ею в особенно трудном начале этой работы. Автор книги благодарит Б.А.Розенфельда за большую редакторскую работу. В обсуждении книги принимали участие сотрудники Института истории естествознания и техники Академии наук СССР и участники научно-исследовательского семинара по истории математики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова, - всем им и всем, кто способствовал выходу в свет этой книги, автор приносит искреннюю благодарность.

Э.Березкина