В настоящей книге представлены классические разделы вычислительной математики: решение скалярных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, теория интерполяции, численное дифференцирование и интегрирование, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задач математической физики (численное решение дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений) и т.д. Изложение сопровождается примерами и задачами, призванными улучшить понимание курса. Для практического освоения теоретических положений предлагается система лабораторных работ по всем основным разделам курса.

Пособие предназначено прежде всего для студентов педагогических вузов, обучающихся по специальностям "Математика" и "Информатика", но может использоваться и студентами других направлений подготовки и специальностей. Кроме того, книга будет полезна широкой аудитории читателей, интересующихся классическими методами вычислительной математики.

Содержание

Введение

Глава 1. Элементы теории погрешностей

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Основные источники погрешностей

1.3. Погрешности и число верных знаков приближенного числа

1.4. Погрешности арифметических действий

1.5. Общая формула погрешности

1.5.1. Прямая задача теории погрешностей

1.5.2. Обратная задача теории погрешностей

Глава 2. Теорема о сжимающем отображении и ее применения к задачам линейной алгебры

2.1. Теорема о сжимающем отображении

2.1.1. Метрические пространства

2.1.2. Теорема о сжимающем отображении

2.2. Численное решение систем линейных уравнений

2.2.1. Метод простой итерации

2.2.2. Норма и ее свойства

2.2.3. Метод Зейделя

2.2.4. Сведение метода Зейделя к методу простой итерации

2.2.5. Необходимое и достаточное условие сходимости итерационного процесса

2.2.6. Переход к виду, удобному для итерации

2.2.7. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений (понятие об обусловленности)

2.2.8. Число операций в методе Гаусса

2.3. Численное решение уравнения f(x) = 0

2.3.1. Лемма об оценке модуля корней многочлена

2.3.2. Универсальная оценка погрешности

2.3.3. Метод половинного деления

2.3.4. Метод хорд

2.3.5. Метод касательных

2.3.6. Метод секущих

2.3.7. Численное решение уравнения x = phi(x) методом итераций

2.3.8. Численное решение уравнения f(x) = 0 методом итераций

2.4. Численное решение систем нелинейных уравнений

2.4.1. Уточнение теоремы о сжимающем отображении

2.4.2. Достаточное условие сжимаемости отображения в нелинейном случае

2.4.3. Численное решение системы нелинейных уравнений (понятие о методе Ньютона)

2.5. Влияние погрешностей округления на итерационный процесс

Глава 3. Элементы теории приближений

3.1. Приближения в нормированном линейном пространстве

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Существование элемента наилучшего приближения

3.2. Приближения в пространстве со скалярным произведением

3.2.1. Необходимое и достаточное условие для элемента наилучшего приближения

3.2.2. Единственность элемента наилучшего приближения

3.2.3. Практическое отыскание элемента наилучшего приближения

3.2.4.Формула

3.2.5. Приближения по ортогональной системе

3.3. Примеры ортогональных систем

3.3.1. Многочлены Лежандра

3.3.2. Тригонометрическая система

3.3.3. Система Хаара

3.4. Дискретный вариант среднеквадратических приближений

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Нахождение многочлена наилучшего приближения

3.4.3. Использование ортогональных на сетке многочленов

3.5. Переопределенные системы уравнений

Глава 4. Интерполяция

4.1. Постановка задачи

4.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

4.3. Оценка погрешности интерполирования

4.4. Схема Эйткена

4.5. Разделенные разности

4.6. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

4.7. Связь разделенной разности и производной

4.8. Оценка погрешности интерполирования через производные меньшего порядка

4.9. Погрешности линейной интерполяции

4.10. Обратное интерполирование

4.11. Многочлены Чебышева. Минимизация оценки погрешности интерполирования

4.12. Понятие о сходимости интерполяционного процесса. Многочлены Эрмита

4.13. Понятие о сплайнах

Глава 5. Численное дифференцирование

5.1. Постановка задачи

5.2. Нахождение производной в точке, не принадлежащей отрезку интерполирования

5.3. Нахождение производной в узле таблицы

5.4. Учет погрешности начальных данных

Глава 6. Численное интегрирование

6.1. Постановка задачи

6.2. Квадратурная формула прямоугольников

6.2.1. Оценка погрешности формулы левых прямоугольников

6.2.2. Составная формула левых прямоугольников

6.2.3. Составная формула правых прямоугольников

6.2.4. Оценка погрешности формулы центральных прямоугольников

6.2.5. Составная формула центральных прямоугольников

6.3. Квадратурная формула трапеций

6.3.1. Оценка погрешности квадратурной формулы трапеций

6.3.2. Составная формула трапеций

6.4. Формула Симпсона

6.4.1. Оценка погрешности формулы Симпсона

6.4.2. Составная формула Симпсона

6.5. Квадратурная формула Гаусса

6.5.1. Свойства квадратурной формулы Гаусса

6.5.2. Формула Гаусса на отрезке [a,b]

6.5.3. Составная формула Гаусса

6.5.4. Оценка порядка убывания погрешности

6.6. Практическая оценка погрешности численного интегрирования

6.7. Оценка погрешности численного интегрирования при счете по неточным начальным данным

6.8. Понятие о методе Монте-Карло

Глава 7. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

7.1. Метод Эйлера

7.2. Модификация метода Эйлера с использованием формулы трапеций

7.3. Модификация метода Эйлера с использованием формулы центральных прямоугольников

7.4. Метод Рунге--Кутта

7.5. Метод Адамса

7.6. Численное решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Глава 8. Понятие о численном решении уравнений с частными производными и интегральных уравнений

8.1. Пример уравнения первого порядка

8.2. Замечания общего характера

8.3. Явные и неявные разностные схемы

8.4. Численное решение уравнения Лапласа

8.5. Понятие о решении интегральных уравнений

Глава 9. Лабораторные работы

9.1. Лабораторная работа: Решение уравнения f(x) = 0

9.2. Лабораторная работа: Линейная алгебра

9.3. Лабораторная работа: Решение систем нелинейных уравнений

9.4. Лабораторная работа: Дискретный вариант среднеквадратических приближений

9.5. Лабораторная работа: Интерполяция

9.6. Лабораторная работа: Численное интегрирование

9.7. Лабораторная работа: Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Литература

Введение

Нередко от студентов педагогических вузов можно услышать вопрос: "А зачем нам численные методы, ведь мы же будем преподавать математику в школе?"

Действительно, педагогический вуз вовсе не призван готовить специалистов в области применения и создания вычислительных методов решения реальных прикладных задач. Изучение численных методов должно способствовать становлению школьного учителя математики, способного грамотно изложить содержание курса математики, провести факультативные занятия, ответить на вопросы учащихся, выходящие за пределы школьной математики. Соответственно в курс "Численные методы", читаемый для студентов-математиков педагогического вуза, должны войти главы, отвечающие указанной цели.

Раздел "Элементы теории погрешностей" представляется особенно актуальным в связи с широким применением вычислительной техники при изучении естественно-научных дисциплин. Вообще говоря, студенты должны освоить эту тему еще во время изучения математики в школе. Однако практика работы со студентами показывает, что это не так. Нередко можно встретиться с тем, что студент в качестве ответа предлагает записанное с экрана компьютера 12-значное число, совершенно не учитывая, что в исходные данные входили приближенные числа с тремя верными значащими цифрами. Зачастую студента ставит в тупик вопрос о том, какие значения невязки при подстановке найденного с определенной точностью приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений можно считать приемлемыми, а какие свидетельствуют о том, что погрешность больше предполагавшейся.

Глава курса, посвященная численным методам решения уравнений, в ее "школьном" аспекте интересна, наверное, прежде всего представляемой ею возможностью более глубокого (хотя, быть может, на интуитивном уровне) усвоения школьниками понятия предела. Уже на примере решения квадратного уравнения каким-либо итерационным методом школьник видит построение некоторой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого достаточно большого номера, попадают в окрестность корня рассматриваемого уравнения.

Возможно, более интересен пример итерационного решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с одновременным нанесением получающихся точек приближенных решений на плоскость. При этом все точки последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в окрестность предельной точки, являющейся решением рассматриваемой системы. Думается, школьник запомнит существование зависимости этого номера от размеров окрестности (то есть погрешности приближенного решения).

Разумеется, будет полезным и само полученное студентом представление о "конкурентоспособности" различных методов решения уравнений при различных сведениях о свойствах решаемых уравнений.

О среднеквадратичных приближениях, иными словами, о способе наименьших квадратов, знают все специалисты, имеющие дело с обработкой результатов каких-либо измерений. Представляется, что этот метод (в его дискретном варианте) может быть вполне доступным пониманию старшеклассников факультативом (ведь единственным новым понятием при его изложении будет частная производная -- понятие, не вызывающее обычно никаких затруднений). При этом появляется возможность по-новому использовать имеющиеся у школьников знания -- скалярное произведение векторов и теорему о необходимом условии экстремума.

Важным частным случаем предыдущей главы является интерполяция. Понятие этой проблематики может быть представлено в школьном факультативе. В частности, именно знание основ интерполяции позволяет специалисту грамотно работать с таблицами значений функции.

Понятие производной рассматривается в школьном курсе математики. Думается, что при формировании этого понятия учителю естественно продемонстрировать на численных примерах сходимость последовательности разностных отношений к производной, то есть по существу использовать некоторые формулы численного дифференцирования. Существенным при этом является учет возможных неточностей знания значений дифференцируемой функции, что позволит преподавателю сосредоточить внимание учеников на сути изучаемого вопроса.

В школьном курсе математики рассматривается также определенный интеграл. Изучаемые в курсе численных методов квадратурные формулы в сущности представляют собой различные способы построения интегральных сумм, пределом которых является интеграл. Знание поведения остаточного члена этих формул позволит преподавателю подобрать примеры выбора интегральных сумм, иллюстрирующих идею предельного перехода.

Стоит отметить, что в школьных задачах зачастую первая производная подынтегральной функции сохраняет знак на отрезке интегрирования. В этих случаях приближенные значения интеграла, получаемые по формуле левых и правых прямоугольников, будут лежать на числовой оси по разные стороны от искомого значения (то есть одна формула будет давать его с недостатком, а другая -- с избытком). Тогда при увеличении числа узлов мы получим последовательность вложенных отрезков, которой принадлежит общая точка -- искомое значение интеграла. При этом, очевидно, результат приближения по формуле правых прямоугольников получается из формулы левых прямоугольников (при одинаковом числе узлов) всего лишь заменой значения в левом конце отрезка интегрирования на значение в правом конце. В свою очередь, среднее арифметическое этих двух приближений (интуиция подскажет школьнику, что это будет лучшим приближением к искомому числу) дает результат применения формулы трапеции, которая также может быть интерпретирована как интегральная сумма.

Некую загадку, призванную повысить интерес школьников к изучаемому материалу, несет собой применение трехточечной формулы Гаусса, позволяющей точно вычислить интеграл от произвольного многочлена степени не выше пятой.

Изучение численного решения дифференциальных уравнений, помимо знакомства с новыми для студентов понятиями -- аппроксимацией, устойчивостью, сходимостью -- позволяет напомнить и продемонстрировать в работе рассмотренные ранее в курсе итерационные методы решения нелинейных уравнений, интерполирование, формулы численного дифференцирования и численного интегрирования.

Изложение в курсе метода Монте-Карло дает студентам возможность, быть может неожиданную, ознакомиться с применением теории вероятностей для решения детерминированных задач: вычисления интегралов, решения уравнений. Авторам этих строк доводилось руководить разработкой факультатива для школьников с использованием демонстрационных компьютерных программ по указанной тематике. Практическая реализация такого факультатива показала, что школьники успешно овладевают этим материалом.

Полагаем, что в заключение каждого раздела курса численных методов нужно указывать -- как именно этот материал можно использовать в ходе практической работы учителя в школе. Впрочем, некоторые рассматриваемые в курсе численных методов вопросы затруднительны для непосредственного использования в школьном преподавании математики, но, думается, они должны быть представлены в курсе, если позволяют студенту получить некоторую общую точку зрения на проблему. Например, теорема о сжимающем отображении в полном метрическом пространстве выявляет общие стороны изучаемых далее подробно способов численного решения уравнений (являющих собой основу школьного факультатива), абстрагируясь от несущественных деталей. В конце этого пособия приведен список литературы, которая может быть полезна при изучении численных методов.

Учителю математики и информатики полезно иметь у себя официальную программу по дисциплине "Численные методы" для студентов педагогических вузов, поэтому ниже представлена вводная часть этой программы.

Целью курса "Численные методы" является формирование у студента представлений о численных методах решения задач математического анализа, алгебры и математической физики на ЭВМ. Основные задачи курса -- углубление математического образования, овладение основными понятиями, фактами и методами вычислительной математики, формирование и развитие практических умений и навыков в области прикладной математики. Студенты должны быть готовы использовать полученные в этой области знания как при изучении смежных дисциплин, так и в профессиональной деятельности, в частности при обучении информатике старшеклассников средней школы. Курс включает в себя изучение элементов теории погрешностей и теории приближений, основных численных методов алгебры, математического анализа и математической физики. Подробно рассмотрены различные методы численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, проблемы построения элементов наилучшего приближения и интерполяционных многочленов, вопросы численного дифференцирования и интегрирования, численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, а также интегральных уравнений. Главная особенность обучения основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с интенсификацией процессов использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. В связи с этим явное включение в содержание дисциплины вопросов, раскрывающих применение современных информационных технологий в прикладной математике, является необходимым требованием времени. Теория приближенного решения математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами, появление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это требует определенного уровня понимания, который необходимо обеспечить в рамках дисциплины "Численные методы".

Вообще главным в изучении численных методов студентами педагогического вуза должна быть "идейная" сторона дела, то есть понимание смысла изучаемых методов решения задач, а не "рецептурная" -- то есть некий набор рецептов, применяемых для решения определенного класса задач. Ведь в конце концов есть пакеты математических программ, и конкретная проблема решается вычислителем просто -- он указывает задачу, требуемую точность и запускает компьютер. От преподавателя в школе требуется не решение каких-то задач, а понимание возможностей изучаемого материала и грамотного использования своих знаний во время школьных занятий (как обязательных, так и в курсах по выбору).

В результате изучения дисциплины студент должен знать:

основы теории погрешностей и теории приближений;

основные численные методы алгебры;

методы постороения элементов наилучшего приближения;

методы построения интерполяционных многочленов;

методы численного дифференцирования и интегрирования;

методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

методы численного решения дифференциальных уравнений в частных производных;

методы численного решения интегральных уравнений.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь:

численно решать алгебраические и трансцендентные уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающем отображении;

численно решать системы линейных уравнений методом простой итерации методом Зейделя;

численно решать ситемы нелинейных уравнений методом Ньютона;

использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения (в интегральном и дискретном вариантах);

интерполировать и оценивать возникающую при этом погрешность;

применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;

применять методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

применять численные методы при решении задач математической физики (численное решение дифференциальных уравнений в частных производных, интегральных уравнений).