Эта книга является одним из лучших западных учебников по финансовой математике. В идейном отношении она охватывает практически все современные направления этой области. Основной акцент сделан на изложении теории неполных рынков. Для студентов, аспирантов и преподавателей физико-математических и экономических факультетов, а также научных работников и специалистов по финансовому, банковскому и страховому делу.

**************************************************************

Предмет этой книги — стохастическая финансовая математика. Ее истоки берут свое начало от знаменитой диссертации Башелье (L.Bachelier "Theorie de la speculation" Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17, 1900). Однако интенсивное развитие этой науки началось лишь во второй половине двадцатого века. Наиболее значимые результаты связаны с именами нобелевских лауреатов Г.Марковица, М.Миллера, У.Шарпа, П.Самуэльсона, Р.Мертона и М.Шоулса (его соавтор Ф.Блэк не дожил до присуждения Нобелевской премии).

В России это направление начало развиваться с середины 90-х годов прошлого века в рамках семинаров А.Н.Ширяева в Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН и на механико-математическом факультете МГУ. Одним из итогов работы этих семинаров была изданная в 1998 г. двухтомная монография А.Н.Ширяева "Основы стохастической финансовой математики", сразу ставшая, по отзывам специалистов, событием в мировой финансово-математической литературе. Эта монография сыграла важную роль в становлении специальности "Актуарная и финансовая математика" во многих российских университетах.

Предлагаемая вниманию читателя книга написана крупнейшими специалистами по финансовой математике профессором Гансом Фёльмером (Берлинский университет имени Гумбольдта) и профессором Александером Ши-дом (Берлинский технический университет) и по праву считается одним из лучших западных учебников. Посвященная моделям стохастической финансовой математики с дискретным временем, она в идейном отношении охватывает практически все современные направления этой области. Основной акцент сделан на изложение теории неполных рынков. Это потребовало включить в книгу как классические разделы математической экономики, связанные с теорией предпочтений и моделями Эрроу—Дебре, так и современные достижения по теории монетарных мер риска, многие из которых принадлежат авторам этой книги. Таким образом, материал данной книги для случая дискретного времени существенно дополняет содержание упомянутой выше монографии А.Н.Ширяева.

Книга содержит две части и приложения.

Первая часть, состоящая из четырех глав, посвящена одношаговой модели рынка. В первой главе, посвященной теории арбитража, изучается математическая структура одношаговой модели финансового рынка. Здесь приводятся классические результаты, касающиеся мартингальных критериев отсутствия арбитражных возможностей на финансовых рынках, обсуждается вопрос об эквивалентности свойства полноты рынка и существования единственной мартингальной меры.

Во второй главе излагается теория ожидаемой полезности. Включение этого классического раздела математической экономики в данную книгу обусловлено прежде всего проблематикой неполных рынков. На неполном рынке существует риск невыполнения финансовых обязательств, который нельзя элиминировать никакой хеджирующей стратегией. Для определения наилучших стратегий при наличии рисков невыполнения финансовых обязательств нужно исследовать предпочтения инвестора и, в частности, понять, когда эти предпочтения выражаются некоторой функцией полезности.

В третьей главе представлены задачи построения портфеля, максимизирующего ожидаемую полезность результирующей выплаты. Показывается, что существование оптимального решения эквивалентно отсутствию арбитражных возможностей. Приводится равновесный подход к проблеме формирования цен на финансовые обязательства, основанный на теории Эрроу—Дебре.

И, наконец, последняя, четвертая глава первой части посвящена проблеме количественного измерения риска в одношаговой модели. Здесь приводятся системы аксиом, которым удовлетворяют те или иные монетарные меры риска.

Вторая часть книги ("Динамическое хеджирование") посвящена изучению многошаговой модели финансового рынка.

В пятой главе устанавливается, что отсутствие арбитражных возможностей характеризуется существованием эквивалентной мартингальной меры. Определяются европейские платежные обязательства и обсуждается проблема формирования их цен, которая тесно связана с задачей хеджирования этих обязательств с помощью динамических портфельных стратегий. В качестве одной из моделей полного рынка рассмотрена биномиальная модель Кокса, Росса и Рубинштейна. Из этой модели, используя один из вариантов центральной предельной теоремы, выводятся знаменитые формулы Блэка—Шоулса для европейских опционов.

Глава 6 посвящена анализу платежных обязательств американского типа, когда покупатель может требовать выплату в любой момент времени до окончания контракта. В случае полного рынка строится теория хеджирования таких платежных обязательств. В рамках теории оптимальной остановки рассматриваются стратегии покупателя, связанные с выбором момента времени исполнения американского опциона. В случае неполных рынков исследуется структура множества безарбитражных цен американских платежных обязательств.

Седьмая глава посвящена построению суперхеджирующих стратегий на неполных рынках для американских и европейских финансовых обязательств. Эти стратегии дают продавцу возможность не проиграть ни при каких обстоятельствах. Однако цена, которую приходится платить за реализацию супер-хеджирующей стратегии, как правило, очень высока.

В восьмой главе рассматриваются некоторые альтернативы суперхеджированию путем ослабления указанных выше требований. В частности, в качестве одной из таких альтернатив предлагается стратегия квантильного хеджирования, позволяющая продавцу не проиграть с высокой вероятностью.

Глава 9 посвящена теории динамического хеджирования в случае, когда можно использовать стратегии только из заданного класса.

И, наконец, в десятой главе представлены еще два подхода к проблеме хеджирования на неполных рынках, в которых не предполагается отсутствие арбитража. Первый подход состоит в выборе стратегии хеджирования, минимизирующей локальный квадратичный риск. Второй подход, названный квадратично-оптимальным хеджированием, состоит в минимизации среднеквадратичной ошибки хеджирования.

Помимо мартингальной техники в данной книге широко используются методы функционального анализа, что выгодно отличает ее от других изданий по финансовой математике. Необходимые сведения из выпуклого анализа, теории меры и некоторых других разделов функционального анализа вынесены в приложения. Это придает изложению материала книги замкнутый характер.

Из краткого обзора содержания книги видно, что она существенно дополняет имеющуюся на русском языке литературу по финансовой математике.

Основная трудность, которую приходилось преодолевать при подготовке перевода данной книги, состояла в том, что большое число финансовых терминов еще не имеет устоявшегося перевода на русский язык. Учитывая это обстоятельство, было признано целесообразным составить на базе книги англо-русский словарь терминов, наиболее часто встречающихся в англоязычной литературе по финансовой математике. По нашему мнению, такой словарь облегчит чтение подобной литературы.

Предлагаемая вниманию российского читателя книга, с одной стороны, рассчитана на то, чтобы служить учебником для студентов и аспирантов специальностей "математика" и "прикладная математика", а также быть использованной при подготовке курсов по современной теории финансов для магистров и аспирантов экономических специальностей. С другой стороны, она является прекрасным введением в стохастические финансы для актуариев, финансовых аналитиков и исследователей, работающих в области математической экономики и желающих войти в круг современных проблем финансовой математики.

Перевод данной книги был подготовлен по издательскому проекту Российского фонда фундаментальных исследований. Как руководитель этого проекта пользуюсь случаем выразить благодарность Э.Л.Пресману за значительный вклад в редактирование окончательного варианта перевода. Переводчики книги Ю.С.Мишура и Г.М.Шевченко проделали кропотливую работу, обнаружив в оригинале ряд неточностей и опечаток. Кроме того, они находились в постоянном контакте с А.Шидом, любезно предоставившим им файлы английского издания и список опечаток.