Настоящее пособие посвящено методам решения и качественного исследования задач курса "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Цель книги --- помочь студентам-прикладникам в формировании их математического мышления, в выработке практических навыков решения и исследования дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях знаний. В книге рассматриваются типовые задачи теории дифференциальных уравнений и их приложения. При подборе задач особое внимание уделено тем из них, которые допускают решение различными методами. Теоретический материал приводится в объеме, необходимом для осознанного решения задач и примеров.

Данная книга является продолжением работы "Руководство по решению обыкновенных дифференциальных уравнений: Дифференциальные уравнения первого порядка. Нелинейные дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений" (М.: URSS, 2012).

Пособие предназначено для студентов и аспирантов физических факультетов вузов. Оно будет полезно при проведении практических занятий, а также при самостоятельном овладении материалом курса ОДУ.

Оглавление

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

18. Линейно зависимые и линейно независимые функции

19. Структура общего решения линейных уравнений п-то порядка

19.1. Восстановление дифференциальных уравнений по заданным частным решениям

20. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

21. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

21.1. Уравнение со специальной правой частью

22. Метод вариаций произвольных постоянных

23. Уравнение Эйлера и приводящиеся к нему

24. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами общего вида

25. Интегрирование дифференциальных уравнений методом степенных рядов

26. Специальные формы линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка

Глава 4. Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

27. Граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка

28. Сопряженные уравнения

29. Функция Грина граничной задачи

30. Задача Штурма-Лиувилля

Глава 5. Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений

31. Нормальные системы дифференциальных уравнений

32. Метод Эйлера интегрирования систем линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

33. Исследование на устойчивость по первому приближению

33.1. Устойчивость по Ляпунову

33.2. Устойчивость по линейному приближению

34. Подходы Ляпунова к исследованию устойчивости

34.1. Метод линеаризации Ляпунова

34.2. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова

Глава 6. Уравнения в частных производных первого порядка

35. Уравнения первого порядка от двух независимых переменных

35.1. Восстановление уравнения в частных производных по заданному решению

36. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения характеристик

36.1. Линейные неоднородные уравнения

37. Квазилинейные дифференциальные уравнения

37.1. Задача Коши для квазилинейных уравнений

Глава 7. Основы математического моделирования

38. Методика математического моделирования

39. Фундаментальные законы природы, вариационные принципы, иерархический подход. Элементарные математические модели

40. Форма равновесия канатов висячих мостов

41. Уравнение сплошности (закон сохранения материи)

42. Прямолинейное движение материальной точки

43. Вертикальное падение тяжелых тел

43.1. Свободное падение тела (упрощенная модель)

43.2. Падение тела в среде с сопротивлением (усложненные модели)

44. Поступательное движение тела вдоль прямой

45. Движение тела по криволинейной траектории

45.1. Упрощенная модель

45.2. Усложненные модели, учитывающие сопротивление среды

46. Механика тел переменной массы

46.1. Уравнение Мещерского

46.2. Реактивное движение. Формулы Циолковского

Ответы к задачам

Приложение. Единицы физических величин

Список рекомендуемой литературы