Предлагаемая книга - первый том двухтомной монографии, посвященной ана-литической теории дифференциальных уравнений.

В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теория нормальных форм и теорема о разрешении особенностей для векторных полей на плоскости.

Вторая часть посвящена алгебраически разрешимым локальным задачам теории аналитических дифференциальных уравнений, квадратичным векторным полям и проблеме локальной классификации ростков векторных полей в комплексной области. Дано современное изложение работы Дюлака (1908) об условиях центра и классической работы Баутина о рождении не более чем трех предельных циклов при бифуркации особой точки квадратичного векторного поля типа центр. Изложена теория алгебраически разрешимых локальных задач и доказана алгебраическая неразрешимость проблемы различения центра и фокуса.

В третьей части изложена линейная теория: подход Арнольда к теории нормальных форм линейных систем с нелинейной точки зрения, проблема Римана - Гильберта, явление Стокса, теорема Сибуи о секториальной нормализации.

В приложениях приводится необходимый минимум сведений из теории римановых поверхностей и многомерного комплексного анализа.

Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей.