Оглавление

Введение

I. Специальная теория относительности

1 Пространство-время и преобразования Лоренца

1.1. Четырехмерное пространство-время

1.2. Преобразования Лоренца

1.3. Классификация четырехмерных векторов и теорема Пифагора

1.4. Композиция скоростей

1.5. Эффекты специальной теории относительности

Замедление хода часов

Сокращение длины стержня

Продольный эффект Доплера

Аберрация света

Эффект увлечения света движущейся средой, обладающей неединичным коэффициентом преломления

Линейный проводник с электрическим током

2 Тензорное описание поля Максвелла

2.1. Уравнения Максвелла и введение потенциалов ? и A

2.2. Векторное исчисление в компонентах: символы Кронекера и Леви-Чивиты

2.3. Уравнения Максвелла: тензорная форма

3 Релятивистская теория электромагнетизма

3.1. Классификация электромагнитных полей

3.2. Преобразование электрического и магнитного векторов при преобразовании Лоренца

3.3. Плоская монохроматическая волна и эффект Доплера

3.4. Тензор энергии-импульса

4 Принцип экстремума действия

4.1. Интеграл действия электромагнитного поля и его источников

4.2. Вариационный принцип в релятивистской механике

4.3. Вариационный вывод уравнений Максвелла

5 Решение Льeнара--Вихерта

5.1. Постановка задачи

5.2. Решение Льeнара--Вихерта

5.3. Вектор Пойнтинга

5.4. Системы отсчета и распространение электромагнитного поля

II. Общая теория относительности

6 Формы Картана

6.1. Определение p-форм

6.2. Символы и тензор Леви-Чивиты

6.3. Скалярное перемножение форм Картана

6.4. Вычисление "хитрых тождеств"

7 Производные в римановой геометрии

7.1. Оператор набла

7.2. ;-ковариантное дифференцирование

7.3. Производная Ли

8 Кривизна в римановой геометрии

8.1. Тензор кривизны

8.2. Структурные уравнения Картана

8.3. Эйнштейновские уравнения поля

8.4. Параллельный перенос и его аналоги

8.5. Уравнение геодезической линии

8.6. Операторы Лапласа и де Рама

9 Пространства-времена черных дыр

9.1. Вывод решения Шварцшильда

9.2. Интерпретация шварцшильдовской метрики: первые шаги

9.3. Синхронные координаты

9.4. Решение Керра ("вывод")

9.5. Проверка решения Керра

10 Космологические модели Фридмана--Робертсона--Уокера (FRW-модели)

10.1. Общий вид FRW-метрики, выведенной из свойств пространственной однородности и изотропии

10.2. Идеальные жидкости и системы отсчета

10.3. Решение уравнений Эйнштейна при произвольном k

Литература

Введение

Фундаментальной основой всей релятивистской физики является тот факт, что время (обладающее только одним измерением) и пространство (со своими тремя измерениями) должны быть объединены в одно многообразие -- 4-мерное пространство-время. Экспериментальная очевидность абсолютности скорости света в вакууме -- независимость скорости света от выбора системы отсчёта, т.е. от состояния движения наблюдателя, как и от состояния движения источника света, -- привела нас в конце концов к этому заключению о необходимости объединения пространства и времени в единое четырёхмерное понятие. Для каждого физика очень важно знать и ясно понимать, что это является основой нашего непосредственного восприятия всего окружающего нас мира, а также приводит к множеству удивительных физических эффектов. Вместе с методами их теоретического вывода они и составляют содержание релятивистской физики.

Забегая вперёд по отношению к использованию метрики Лоренца, делающей равноправными все координаты в соответствующей псевдодекартовой (ортонормальной) системе, легко понять естественность интерпретации в такой системе абсолютности скорости света в вакууме как проявления равноправности всех четырёх координат. Иными словами, неизменно-картезианское поведение координат до и после всякого преобразования Лоренца -- и есть свойство абсолютности поведения света в любом эксперименте типа Майкельсона.

Общая теория относительности представляет собой обобщение геометрии Минковского, включающее общие преобразования координат (естественно, при якобиане, отличном от нуля и от бесконечности) и наличие римановой кривизны. При этом вводятся понятия коэффициентов связности и ковариантного дифференцирования с помощью оператора набла, у которого постулируется ряд свойств, автоматически приводящих к законам преобразования связности и ее универсальной структуре. В свою очередь, кривизна вводится через соответствующий дифференциальный оператор второго порядка, также обладающий универсальными свойствами. Все это выражается на языке внешних форм Картана, радикально упрощающем вычисления как связности, так и кривизны. Такой математический аппарат дает огромную экономию сил и времени исследователя, так что в первую очередь мы приводим в этом разделе книги его во всех деталях. За этим следуют его важные приложения к теории черных дыр и оригинальному, в высшей степени компактному и строгому изложению космологии.

Курс лекций, соответствующий первому разделу этой книги по релятивистской физике, читался мною на испанском языке в Гвадалахарском университете в течение последних пятнадцати лет, так что материал первого раздела представляет собой мой перевод с испанского.

Курс общей теории относительности, содержащийся во втором разделе книги, был прочитан мною на английском языке осенью 2007 г. студентам докторантуры Университета Нью--Дели в Индии по дружескому приглашению профессора М.Сами, а затем я использовал этот курс для чтения студентам в Мексике в Гвадалахарском университете уже по-испански.