Настоящее пособие посвящено методам решения и качественного исследования задач курса "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Цель книги --- помочь студентам-прикладникам в формировании их математического мышления, в выработке практических навыков решения и исследования дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях знаний. В книге рассматриваются типовые задачи теории дифференциальных уравнений и их приложения. При подборе задач особое внимание уделено тем из них, которые допускают решение различными методами. Теоретический материал приводится в объеме, необходимом для осознанного решения задач и примеров.

В данном издании внесены изменения в содержательную часть параграфов, исправлены опечатки и неточности. Добавлен ряд более сложных и содержательных примеров.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов физических факультетов вузов. Оно будет полезно при проведении практических занятий, а также при самостоятельном овладении материалом курса ОДУ.

Оглавление

Предисловие

Основные обозначения

Введение

Глава I.Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения

2. О составлении дифференциальных уравнений

2.1. Некоторые задачи математического моделирования

2.2. Обратная задача теории дифференциальных уравнений

3. Уравнения в полных дифференциалах

4. Интегрирующий множитель

5. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним

6. Однородные и приводящиеся к ним уравнения

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

7.1 Уравнения, приводящиеся к линейным

8. Нелинейные уравнения специального вида (Бернулли, Риккати, Миндинга-Дарбу)

9. Теоремы существования и единственности задачи Коши

9.1. Теорема Пикара

9.2. Продолжение решения

10. Уравнения, не разрешенные относительно производной

11. Особые решения уравнений первого порядка

11.1. Особые решения уравнения, разрешенного относительно производной

11.2. Особые решения уравнения, не разрешенного относительно производной

12. Геометрический подход к исследованию дифференциальных уравнений первого порядка

13. Приближенные методы решения задачи Коши для уравнений первого порядка

13.1. Приближенные аналитические методы

13.2. Численные методы решения

Глава II. Нелинейные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений

14. Виды нелинейных уравнений, интегрируемых в квадратурах

14.1. Обратная задача для уравнений высших порядков

14.2. Уравнения, интегрируемые в квадратурах

15. Уравнения, допускающие понижение порядка

16. Нормальные системы уравнений. Метод исключения

17. Системы симметричного вида. Подбор интегрируемых комбинаций

Приложение 1

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Приложение 2

Неопределенный интеграл и его свойства

Приложение 3

Гиперболические функции

Ответы к задачам

Список рекомендуемой литературы

Предисловие

Примеры учат лучше, чем теория

Исаак Ньютон

Счастлив тот, кто имеет вкус к умственным занятиям

Великий французский философ

Жюльен Офре де Ламетри

Дифференциальные уравнения -- один из курсов, составляющих основу фундаментального математического образования студентов технических и классических университетов. Его можно рассматривать как часть математического анализа и весьма важный раздел математики в части приложения к проблемам естествознания и техники. В настоящее время трудно представить себе прогресс в получении качественных и количественных оценок процессов, протекающих в экономике и социологии, без использования теории дифференциальных уравнений.

Материал каждого параграфа представляет практическое задание по одной соответствующей теме, поэтому пособие удобно использовать как руководство для преподавателя, ведущего занятие, и для студентов, изучающих курс. Пособие построено как сопровождение к проведению практических занятий по материалу, изложенному в учебниках [15-16].

При подборе задач большое внимание обращалось на те из них, которые можно решать разными методами с целью выработки навыков предварительного анализа сформулированных задач (примеров) и выбора наиболее оптимальной стратегии нахождения решения. И, конечно же, возможности проверки правильности результата.

В цели авторов входило не только желание дать студентам образцы ре-шения и исследования важнейших классов обыкновенных дифференциаль-ных уравнений, но и желание приобщить их к необходимости проведения изначальной классификации видов и типов уравнений, а также выработки стратегии построения решения. При составлении пособия были использованы задачники и руководства по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова, В.В. Амелькина, А.К. Боярчука -- Г.П. Головача; А.А. Есипова -- Л.И. Сазонова -- В.И. Юдовича; Н.М. Матвеева, М.А. Перестюка -- М.Р. Свищука; А.А. Самарского -- А.П. Михайлова; К.К. Пономарева, А.М. Самойленко -- С.А. Кривошеи -- М.А. Перестюка; Ю.С. Сикорского и др.

Авторы выражают благодарность А.В. Безусу, Г.В. Ержакову, А.В. Литвиненко и к. ф.-м. н. Т.А. Васильеву за помощь в подготовке и оформлении рукописи книги. Кроме того, особая благодарность доцентам С.Н. Кудряшову и В.Н. Тышлеку за полезные обсуждения и замечания, высказанные по тексту рукописи и способствовавшие улучшению изложения материала.